스플라인 곡선

3. 정의

"스플라인"이라는 용어는 데이터 보간 및 평활화(smoothing)가 필요한 다양한 응용 분야에서 사용되는 광범위한 함수 집합을 가리킨다. 데이터는 1차원 또는 다차원일 수 있다. 여기서는 주로 1차원 다항식 스플라인에 초점을 맞춘다.

일변수 다항식의 경우, 스플라인은 구간별로 정의된 다항식 함수이다. 함수 $S$는 실수 구간 $[a,b]$에서 정의되며, 실수 값을 가진다.

$S:\; [a,b]\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}.$

함수 $S$는 구간 $[a,b]$를 $k$개의 서로 겹치지 않는 부분 구간으로 나누어 정의된다.

$\backslash begin\{align\}$

&[t_i, t_{i+1}], \quad i = 0,\ldots, k-1 \\[4pt]

&[a,b] = [t_0,t_1) \cup [t_1,t_2) \cup \cdots \cup [t_{k-2},t_{k-1}) \cup [t_{k-1},t_k] \\[4pt]

&a = t_0 \le t_1 \le \cdots \le t_{k-1} \le t_k = b

\end{align}

각 부분 구간 $[t\_i,\; t\_\{i+1\}]$에서는 해당 구간에 정의된 다항식 $P\_i$를 사용하여 함수 $S$를 정의한다.

$\backslash begin\{align\}$

S(t) &= P_0 (t), && t_0 \le t < t_1, \\[2pt]

S(t) &= P_1 (t), && t_1 \le t < t_2, \\

&\vdots \\

S(t) &= P_{k-1} (t), && t_{k-1} \le t \le t_k.

\end{align}

여기서 각 점 $t\_i$ ($i=0,\; \backslash ldots,\; k$)를 매듭(knot)이라고 부른다. 이 매듭들의 벡터 $\backslash mathbf\{t\}\; =\; (t\_0,\; \backslash ldots,\; t\_k)$를 스플라인의 매듭 벡터(knot vector)라고 한다. 만약 매듭들이 구간 $[a,b]$ 내에서 등간격으로 분포되어 있다면 스플라인은 균일(uniform)하다고 하며, 그렇지 않으면 비균일(non-uniform)하다고 한다.

각 다항식 조각 $P\_i$의 차수가 최대 $n$일 때, 스플라인의 차수(degree)는 $\backslash le\; n$이라고 한다. (간혹 $n+1$차라고 부르기도 한다.)

매듭 $t\_i$ ($i=1,\; \backslash ldots,\; k-1$)에서 두 다항식 조각 $P\_\{i-1\}$과 $P\_i$가 만날 때, 이 지점에서의 함수의 매끄러움(smoothness) 정도가 중요하다. 만약 $t\_i$ 근방에서 함수 $S$가 $C^\{r\_i\}$ 연속성, 즉 $r\_i$번 미분 가능하고 그 도함수가 연속이라면, 스플라인은 $t\_i$에서 $C^\{r\_i\}$의 매끄러움을 갖는다고 한다. 이는 $t\_i$에서 $P\_\{i-1\}$과 $P\_i$의 0차부터 $r\_i$차까지의 도함수 값이 일치함을 의미한다.

$\backslash begin\{align\}$

P_{i-1}^{(j)}(t_i) &= P_i^{(j)} (t_i), \quad j = 0, 1, \ldots, r_i.

\end{align}

벡터 $\backslash mathbf\{r\}\; =\; (r\_1,\; \backslash ldots,\; r\_\{k-1\})$를 스플라인의 매끄러움 벡터(smoothness vector)라고 한다.

주어진 매듭 벡터 $\backslash mathbf\{t\}$, 차수 $n$, 매끄러움 벡터 $\backslash mathbf\{r\}$에 대해, 이 조건들을 만족하는 모든 차수 $\backslash le\; n$의 스플라인 함수들의 집합은 벡터 공간을 이룬다. 이 공간을 스플라인 공간(spline space)이라고 하며, 보통 $S^\{\backslash mathbf\{r\}\}\_n(\backslash mathbf\{t\})$로 표기한다.

수학적으로 매듭 $t\_i$와 $t\_\{i+1\}$이 서로 접근하여 일치하는 경우를 고려할 수 있다. 이 경우, 다항식 조각 $P\_i(t)$는 사라지고, 조각 $P\_\{i-1\}(t)$와 $P\_\{i+1\}(t)$가 합쳐진 매끄러움 손실을 가지고 연결된다. 특정 지점에서의 연속성 손실은 해당 지점에 여러 개의 매듭이 겹쳐 있는 다중 매듭(multiple knot)으로 생각할 수 있다. 따라서 스플라인의 유형은 차수 $n$과 각 매듭의 중복도를 포함하는 확장된 매듭 벡터(extended knot vector)로 완전히 특징지을 수 있다. 예를 들어, 매듭 $t\_i$가 $j\_i$번 반복된다면($i\; =\; 1,\; \backslash ldots,\; k-1$) 확장된 매듭 벡터는 다음과 같은 형태를 가진다.

$$

(t_0, \underbrace{t_1, \ldots, t_1}_{j_1 \text{ times}}, \underbrace{t_2, \ldots, t_2}_{j_2 \text{ times}}, \ldots, \underbrace{t_{k-1}, \ldots, t_{k-1}}_{j_{k-1} \text{ times}}, t_k)



여기서 $j\_i\; =\; n\; -\; r\_i$는 $t\_i$에서의 매끄러움 손실 정도를 나타낸다.

구간 $[a,b]$에서 정의된 매개변수 곡선 $G(t)\; =\; (X(t),\; Y(t))$가 있을 때, 만약 $X(t)$와 $Y(t)$가 모두 동일한 확장된 매듭 벡터를 가지는 동일한 차수의 스플라인 함수라면, 이 곡선을 스플라인 곡선이라고 한다.

4. 종류

가장 간단한 스플라인은 차수가 0인 것으로, 계단 함수라고도 불린다.

다음으로 간단한 것은 차수가 1인 '''선형 스플라인'''이다. 이는 점들을 직선으로 연결하는 것과 같으며, 선형 보간에 해당하고 결과적으로 꺾은선 그래프 형태를 띤다. 만약 시작점과 끝점이 같은 닫힌 선형 스플라인이라면 다각형이 된다.

일반적으로 많이 사용되는 스플라인은 차수가 3인 '''3차 스플라인'''이다. 특히, 끝점에서 2차 도함수가 0이 되는 조건을 만족하는 것을 '''자연 3차 스플라인'''이라고 한다. 3차 스플라인은 값뿐만 아니라 1차 및 2차 도함수까지 연속적인(''C''²) 부드러운 곡선을 만든다. 자연 3차 스플라인의 경우, 보간 구간의 양 끝에서는 곡선이 직선처럼 휘어짐 없이 부드럽게 이어진다(''S''''(a) = ''S''''(b) = 0).

스플라인이라는 이름은 원래 제도 도구로 사용되던 탄력 있는 긴 판(spline^영어)에서 유래했다. 이 판을 여러 개의 추(spline weights^영어)로 고정하면 판의 탄성 때문에 추의 위치를 지나는 부드러운 곡선이 만들어지는데, 이 원리를 수학적으로 구현한 것이 3차 스플라인 곡선이다. 물리적인 스플라인은 탄성 에너지를 최소화하는 형태로 휘어지며, 3차 스플라인은 이러한 특성을 수학적으로 모방한다^[4][5]。

N개의 점을 모두 통과하는 N-1차 다항식을 이용한 다항식 보간법도 가능하지만, 점이 많아지면 룬게 현상과 같이 곡선이 크게 출렁이는 문제가 발생할 수 있다. 스플라인은 이 문제를 해결하기 위해 전체 구간을 여러 개의 작은 구간으로 나누고, 각 구간을 낮은 차수의 다항식(주로 3차)으로 연결하여 전체적으로 부드러운 곡선을 만드는 방식이다.

B-스플라인 곡선은 기존의 스플라인과 달리 주어진 제어점을 반드시 통과하지는 않는 특징을 가진다. 베지어 곡선과 비교될 때 주로 3차 B-스플라인 곡선이 언급된다.

NURBS(Non-Uniform Rational B-Spline, 비균일 유리 B-스플라인)는 B-스플라인 곡선을 더욱 일반화한 형태로, 가중치를 조절하여 곡선의 모양을 더 유연하게 제어할 수 있다.

5. 알고리즘

3차 스플라인은 다음과 같은 형태를 갖는다.

$$S\_j(x)\; =\; a\_j\; +\; b\_j(x\; -\; x\_j)\; +\; c\_j(x-x\_j)^2\; +\; d\_j(x-x\_j)^3.$$

주어진 좌표 집합

$$C\; =\; \backslash bigl[\; (x\_0,\; y\_0),\; (x\_1,\; y\_1),\; ...,\; (x\_n,\; y\_n)\; \backslash bigr],$$

에 대해 $i\; =\; 0,\; \backslash dots,\; n-1$에 대한 $n$개의 스플라인 $S\_i(x)$ 집합을 찾고자 한다.

이들은 다음 조건을 만족해야 한다.

$$\backslash begin\{align\}$$

S_i (x_i) &= y_i = S_{i-1} (x_i), && i = 1,\ \ldots,\ n-1, \\

S_{0} (x_0) &= y_0 , \\

S_{n-1} (x_n) &= y_n ,\\

S'_i (x_i) &= S'_{i-1} (x_i), && i = 1,\ \ldots,\ n-1, \\

S''_i (x_i) &= S''_{i-1} (x_i), && i = 1,\ \ldots,\ n-1, \\

S''_0 (x_0) &= S''_{n-1} (x_n) = 0.

\end{align}

하나의 3차 스플라인 $S$를 계수 $a,\; b,\; c,\; d$와 노드 $x\_t$(여기서는 $x\_j$와 동일)를 포함하는 5-튜플 $(a,\; b\; ,\; c,\; d,\; x\_t)$로 정의한다.

'''자연 3차 스플라인 계산 알고리즘'''

• 입력: $|C|\; =\; n\; +\; 1$개의 점으로 이루어진 좌표 집합 $C$
• 출력: $n$개의 5-튜플로 구성된 스플라인 집합.

6. 표현 및 명칭

스플라인 관련 문헌에는 다양한 종류의 스플라인을 지칭하는 이름들이 많이 등장한다. 이러한 이름들은 주로 다음과 같은 기준에 따라 붙여졌다.

• 스플라인 표현 방식:
• B-스플라인: 전체 스플라인을 표현하기 위해 특정 기저 함수를 사용하는 방식이다.
• 베지어 스플라인: 각 다항식 조각을 표현하기 위해 피에르 베지에가 사용한 베른슈타인 다항식을 사용하는 방식이다.

• 매듭 벡터 구성 방식:
• '''균등 스플라인''' (Uniform spline): ''C''^''n''–1 연속성을 위해 단일 매듭을 사용하고, 이 매듭들을 주어진 구간 [''a'', ''b''] 내에서 동일한 간격으로 배치하는 방식이다.
• '''비균등 스플라인''' (Non-uniform spline): 매듭 사이의 간격에 특별한 제한을 두지 않는 방식이다.

• 부가적인 조건:
• '''자연 스플라인''' (Natural spline): 스플라인 곡선의 양 끝점 ''a''와 ''b''에서의 2차 도함수 값을 0으로 만드는 조건을 부여한 스플라인이다.
• '''보간 스플라인''' (Interpolating spline): 주어진 데이터 점들을 반드시 지나가도록 만든 스플라인이다.

7. 응용

"스플라인"은 데이터 보간 및 평활화가 필요한 다양한 응용 분야에서 사용되는 광범위한 함수 집합을 지칭한다. 데이터는 1차원 또는 다차원일 수 있다. 특히 수치 계산 분야에서 중요한 역할을 하는데, 예를 들어 유한 요소법에서는 스플라인 보간의 형태로 이용된다.^[6] 스플라인 함수는 계산 및 표현의 용이성 때문에 다양한 분야에서 활용 가치가 높다.

7. 1. 한국에서의 응용

참조

_[1] 서적 Curves and surfaces for CAGD: a practical guide Morgan Kaufmann 2002
_[2] 인용 2022
_[3] 인용 2022
_[4] 인용 2022
_[5] 웹사이트 Wolfram MathWorld, Cubic Spline http://mathworld.wol[...]
_[6] 서적 数値解析入門 サイエンス社 2003-06